ALES problemler, sayma ve sayısal mantık: çözümlü sorular

Q: Kâr oranı sorularında maliyet nasıl bulunur?

Satış fiyatı sabitken iki farklı kâr oranı arasındaki fark, maliyetin aynı yüzdesine eşittir; farkı yüzdeye bölerek maliyete ulaşılır. Çözümde denklem adım adım kurulur.

Q: Yaş problemlerinde en sık hata nedir?

Yıllar geçtiğinde herkesin yaşının aynı miktarda arttığını unutmak. Anne ve çocuklar örneğinde çocuk sayısı kadar yıl eklenir; çözüm bunu gösterir.

Q: Yan yana durma şartlı permütasyon nasıl hesaplanır?

Yan yana duracak harfler tek nesne sayılır, kalanlarla birlikte sıralanır, sonra paket içindeki diziliş sayısıyla çarpılır. Tekrarlı harf varsa tekrarların faktöriyeline bölünür.

Q: Kurallı sayı dizisinde uzak terim nasıl bulunur?

Dizinin tekrar eden bölümünün (periyot) uzunluğu bulunur; istenen terimin sıra numarası periyoda bölünür ve kalana göre terim okunur. Soruda bu yöntem uygulanır.

Question 1

Bir mağaza sahibi aldığı bir ürünü %25 kârla satmayı planlamaktadır. Ancak müşterisinin pazarlık yapması üzerine bu ürünü %20 kârla satar. Eğer pazarlık yapmadan satış yapsaydı 15 TL daha fazla kazanacaktı.

Bu ürünün alış fiyatı kaç TL'dir?

Accepted Answer

### Problem Analizi
- Planlanan kâr oranı: %25
- Gerçekleşen kâr oranı: %20
- Kâr farkı: 15 TL
- Alış fiyatını bulacağız.

### Çözüm Adımları

**Adım 1:** Alış fiyatını x TL olarak alalım.

**Adım 2:** Kâr miktarlarını hesaplayalım:
- %25 kârla satış fiyatı: x + (25/100)x = 1,25x
- %25 kâr miktarı: 0,25x

- %20 kârla satış fiyatı: x + (20/100)x = 1,20x  
- %20 kâr miktarı: 0,20x

**Adım 3:** Kâr farkını bulalım:
Kâr farkı = 0,25x - 0,20x = 0,05x

**Adım 4:** Denklemi kuralım:
0,05x = 15

**Adım 5:** Alış fiyatını bulalım:
x = 15 ÷ 0,05 = 300 TL

### Doğrulama
- Alış fiyatı: 300 TL
- %25 kârla satış: 300 + (300 × 0,25) = 300 + 75 = 375 TL
- %20 kârla satış: 300 + (300 × 0,20) = 300 + 60 = 360 TL
- Kâr farkı: 75 - 60 = 15 TL ✓

Question 2

Tuz oranı %30 olan 60 gramlık bir tuz-su karışımına, tuz oranı %10 olan başka bir karışımdan 40 gram ekleniyor.

Son karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?

Accepted Answer

- **Bu adımda ilk karışımdaki tuz miktarını buluyoruz, çünkü karışım problemlerinde son oran için toplam tuz miktarını izlemek gerekir.**  
  60 gramın %30’u tuzdur:
  $$
  60 \times 0{,}30 = 18 \text{ gram tuz}
  $$

- **Bu adımda eklenen karışımdaki tuz miktarını buluyoruz, çünkü son tuz miktarı iki karışımdan gelen tuzların toplamıdır.**  
  40 gramın %10’u tuzdur:
  $$
  40 \times 0{,}10 = 4 \text{ gram tuz}
  $$

- **Bu adımda son karışımın toplam tuzunu ve toplam kütlesini hesaplıyoruz, çünkü yüzde oranı “tuz / toplam” ile bulunur.**  
  Toplam tuz:
  $$
  18 + 4 = 22 \text{ gram}
  $$
  Toplam karışım:
  $$
  60 + 40 = 100 \text{ gram}
  $$

- **Bu adımda son tuz yüzdesini hesaplıyoruz, çünkü istenen değer budur.**  
  $$
  \frac{22}{100}\times 100 = 22
  $$
  Son karışımın tuz oranı %22’dir.

- **Bu adımda kısa bir mantık kontrolü yapıyoruz, çünkü %30’luk bir karışıma %10’luk eklenirse sonuç iki değerin arasında olmalıdır.**  
  Bulduğumuz %22, %10 ile %30 arasında olduğundan sonuç mantıklıdır.

Question 3

Bir annenin yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir. 8 yıl önce annenin yaşı, çocukların o günkü yaşları toplamının 2 katı idi.

Buna göre, annenin şimdiki yaşı kaçtır?

Accepted Answer

### Adım 1: Değişkenleri Tanımlama
Çocukların şimdiki yaşları toplamına $ c $ diyelim.
Annenin şimdiki yaşı: $ a = c $

### Adım 2: 8 Yıl Önceki Durumu İfade Etme
8 yıl önce annenin yaşı: $ a - 8 $
8 yıl önce çocukların yaşları toplamı: Her biri 8 yaş küçük olacağından, $ c - 3 \times 8 = c - 24 $

8 yıl önce annenin yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı idi:
$ a - 8 = 2(c - 24) $

### Adım 3: Denklemleri Çözme
$ a = c $ olduğunu biliyoruz. İkinci denklemde yerine koyalım:
$ c - 8 = 2(c - 24) $
$ c - 8 = 2c - 48 $

Terimleri düzenleyelim:
$ -8 + 48 = 2c - c $
$ 40 = c $

### Adım 4: Annenin Yaşını Bulma
$ a = c = 40 $

### Adım 5: Sonucu Kontrol Etme
Annenin şimdiki yaşı: 40
Çocukların yaşları toplamı: 40
8 yıl önce: anne 32, çocuklar 40 - 24 = 16
2 katı: 32. Doğru.

**Sonuç:** Annenin şimdiki yaşı 40'tır.

Question 4

2 tane A, 2 tane B, 1 tane C ve birer tane D, E harfi kullanılarak dizilişler yapılacaktır. A harflerinin tamamı yan yana olmak zorundaysa kaç farklı diziliş yapılabilir?

Accepted Answer

A harfleri yan yana olmak zorunda olduğundan iki A harfi tek bir blok gibi düşünülür:

AA, B, B, C, D, E

Böylece sıralanacak toplam 6 nesne vardır. Ancak iki B harfi aynı olduğundan tekrar eden dizilişler 2! ile bölünür.

Uygun diziliş sayısı:

6! / 2! = 720 / 2 = 360

Bu nedenle doğru cevap A seçeneğidir.

Question 5

Aşağıda ilk iki terimi verilen sayı dizisinin her terimi bir rakamdır.

a₁ = 8,  a₂ = 3

Bu dizide 3. terimden itibaren her terim; kendisinden iki önceki terim, kendisinden bir önceki terimin iki katı ve bulunacak terimin sıra numarası toplanıp bu toplamın birler basamağı alınarak elde edilmektedir.

Örneğin,

a₃ = 7
a₄ = 1
a₅ = 4

olur.

Buna göre $a_{2026}$ kaçtır?

Accepted Answer

1) Verilen kurala göre $n\ge 3$ için
$$
a_n \equiv a_{n-2}+2a_{n-1}+n \pmod{10}
$$
olur.

2) İlk terimler hesaplanır:
$$
a_1=8,\qquad a_2=3
$$

$$
a_3 \equiv 8+2\cdot3+3=17 \equiv 7 \pmod{10}
$$

$$
a_4 \equiv 3+2\cdot7+4=21 \equiv 1 \pmod{10}
$$

$$
a_5 \equiv 7+2\cdot1+5=14 \equiv 4 \pmod{10}
$$

3) Bu biçimde devam edildiğinde dizinin ilk $60$ terimi aşağıdaki gibi bulunur:

$$
\begin{aligned}
&8,\ 3,\ 7,\ 1,\ 4,\ 5,\ 1,\ 5,\ 0,\ 5,\
&1,\ 9,\ 2,\ 7,\ 1,\ 5,\ 8,\ 9,\ 5,\ 9,\
&4,\ 9,\ 5,\ 3,\ 6,\ 1,\ 5,\ 9,\ 2,\ 3,\
&9,\ 3,\ 8,\ 3,\ 9,\ 7,\ 0,\ 5,\ 9,\ 3,\
&6,\ 7,\ 3,\ 7,\ 2,\ 7,\ 3,\ 1,\ 4,\ 9,\
&3,\ 7,\ 0,\ 1,\ 7,\ 1,\ 6,\ 1,\ 7,\ 5
\end{aligned}
$$

4) Devamında
$$
a_{61}=8,\qquad a_{62}=3
$$
elde edilir.

Bu değerler başlangıçtaki
$$
a_1=8,\qquad a_2=3
$$
değerleriyle aynıdır. Ayrıca kuralda kullanılan sıra numarası da $10$'a göre değerlendirildiğinden, $60$ terim sonra aynı yapı tekrar eder.

Bu nedenle dizinin periyodu $60$ tır.

5) Aranan terim için
$$
2026=60\cdot33+46
$$
olduğundan
$$
a_{2026}=a_{46}
$$
olur.

6) Yukarıdaki listeden
$$
a_{46}=7
$$
bulunur.

Sonuç olarak $a_{2026}=7$ dir.

ALES problemler, sayma ve sayısal mantık: çözümlü sorular

Konu özeti

1. Kâr oranı farkından maliyet bulma

Soru

Doğru cevap: D

Detaylı çözüm

Problem Analizi

Çözüm Adımları

Doğrulama

Seçenek analizi

2. İki karışımın ortak yüzdesi

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

3. Anne ve çocukların yaş toplamı

Soru

Doğru cevap: D

Detaylı çözüm

Adım 1: Değişkenleri Tanımlama

Adım 2: 8 Yıl Önceki Durumu İfade Etme

Adım 3: Denklemleri Çözme

Adım 4: Annenin Yaşını Bulma

Adım 5: Sonucu Kontrol Etme

Seçenek analizi

4. Yan yana duran harflerle diziliş sayısı

Soru

Doğru cevap: A

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

5. Açık kurallı sayı dizisinde uzak terim

Soru

Doğru cevap: C

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

Sık sorulan sorular

ALES problemler, sayma ve sayısal mantık: çözümlü sorular

Konu özeti

1. Kâr oranı farkından maliyet bulma

Soru

Doğru cevap: D

Detaylı çözüm

Problem Analizi

Çözüm Adımları

Doğrulama

Seçenek analizi

2. İki karışımın ortak yüzdesi

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

3. Anne ve çocukların yaş toplamı

Soru

Doğru cevap: D

Detaylı çözüm

Adım 1: Değişkenleri Tanımlama

Adım 2: 8 Yıl Önceki Durumu İfade Etme

Adım 3: Denklemleri Çözme

Adım 4: Annenin Yaşını Bulma

Adım 5: Sonucu Kontrol Etme

Seçenek analizi

4. Yan yana duran harflerle diziliş sayısı

Soru

Doğru cevap: A

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

5. Açık kurallı sayı dizisinde uzak terim

Soru

Doğru cevap: C

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

Sık sorulan sorular

İlgili yazılar