DGS sayısal: problemler ve temel matematik çözümlü sorular

Q: İşçi-süre sorularında orantı doğru mu ters mi?

İşçi sayısı ile süre ters orantılıdır: işçi artarsa süre azalır. Toplam iş = işçi × süre eşitliği her iki durumda da aynı kalır; çözümlerde bu eşitlik kurulur.

Q: Ardışık yüzde artış ve azalış nasıl hesaplanır?

Yüzdeler toplanmaz; çarpanlar çarpılır: %20 artış 1,2 ile, %20 azalış 0,8 ile çarpmaktır. Sıra fark etmez, sonuç başlangıcın 0,96 katıdır.

Q: Paydalı denklemde tanım kümesi neden önemli?

Paydayı sıfır yapan değerler çözüm olamaz. Denklemi çözdükten sonra bulunan kök paydayı sıfırlıyorsa elenir; soru tam olarak bu tuzağı sorar.

Q: DGS'de kaç soru, kaç dakika?

50 sayısal + 50 sözel olmak üzere 100 soru, 135 dakika (ÖSYM 2026-DGS kılavuzu). Soru başına ortalama 1,35 dakika düşer; bu yüzden kalıp soruları hızlı bitirmek gerekir.

Question 1

Bir tekstil fabrikasında üretim hızı, çalışan sayısı ile doğru orantılıdır. 8 çalışan günde 480 metre kumaş üretmektedir.

Aynı fabrikada günlük üretim miktarını 1.200 metreye çıkarmak için kaç çalışana ihtiyaç vardır?

Accepted Answer

### Adım 1: Problemin Analizi

Üretim hızı (H) ile çalışan sayısı (Ç) doğru orantılı olduğundan:

$$H \propto Ç$$

Bu da şu anlama gelir:

$$\frac{H_1}{Ç_1} = \frac{H_2}{Ç_2} = k 	ext{ (sabit)}$$

### Adım 2: Verilen Bilgileri Yazma

- **İlk durum:** $Ç_1 = 8$ çalışan, $H_1 = 480$ metre kumaş
- **İkinci durum:** $Ç_2 = ?$ çalışan, $H_2 = 1.200$ metre kumaş

### Adım 3: Orantı Kurma

Doğru orantıda:

$$\frac{H_1}{Ç_1} = \frac{H_2}{Ç_2}$$

Değerleri yerine koyalım:

$$\frac{480}{8} = \frac{1.200}{Ç_2}$$

### Adım 4: Birim Orantıyı Hesaplama

$$\frac{480}{8} = 60 	ext{ (bir çalışan başına günlük üretim)}$$

Buradan:

$$60 = \frac{1.200}{Ç_2}$$

### Adım 5: Çalışan Sayısını Bulma

$$Ç_2 = \frac{1.200}{60} = 20$$

### Adım 6: Kontrol

- 8 çalışan → 480 metre
- 20 çalışan → 1.200 metre

Oran kontrolü: $\frac{480}{8} = 60$ ve $\frac{1.200}{20} = 60$ ✓

Question 2

Bir inşaat şirketinde 15 işçi bir duvarı 20 günde örebilmektedir. Aynı duvarı 12 günde örmek için, mevcut işçilere kaç işçi daha eklenmelidir?

Accepted Answer

Bu problem, işçi sayısı artırıldığında çalışma süresinin nasıl değişeceğini soran ters orantı problemidir.

### Mevcut Durum Analizi

**Verilen:**
- 15 işçi → 20 gün
- Hedef: x işçi → 12 gün

### Toplam İş Miktarı

Toplam iş miktarı sabit kalır:
15 işçi × 20 gün = 300 işçi-gün

### Gerekli İşçi Sayısı

12 günde tamamlamak için gereken toplam işçi sayısı:
x işçi × 12 gün = 300 işçi-gün
x = 300 ÷ 12
x = 25 işçi

### Eklenecek İşçi Sayısı

Toplam gerekli işçi: 25 işçi
Mevcut işçi: 15 işçi
Eklenecek işçi: 25 - 15 = 10 işçi

### Doğrulama

**Yeni durum kontrolü:**
- Toplam işçi: 15 + 10 = 25 işçi
- Süre: 12 gün
- Toplam iş: 25 × 12 = 300 işçi-gün ✓

**İlk durum:**
- İşçi sayısı: 15
- Süre: 20 gün
- Toplam iş: 15 × 20 = 300 işçi-gün ✓
Sonuç: Duvarı 12 günde örmek için mevcut işçilere 10 işçi daha eklenmelidir.

Question 3

Bir işçi grubu, bir işi 10 günde bitirmektedir. Aynı gruptan 2 işçi eksildiğinde, iş 15 günde tamamlanabilmektedir.

Buna göre, grup başlangıçta kaç işçiden oluşmaktadır?

Accepted Answer

- Bu adımda toplam iş miktarını “işçi-gün” üzerinden kuruyoruz, çünkü aynı iş için toplam emek sabittir.
  Başlangıçtaki işçi sayısı $n$ olsun.

- Bu adımda ilk duruma göre toplam emeği yazıyoruz, çünkü 10 günde biten işin emek karşılığı $n\cdot 10$’dur.
  $$
  \text{Toplam iş} = 10n
  $$

- Bu adımda ikinci durumu yazıyoruz, çünkü 2 işçi eksilince işçi sayısı $n-2$ olur ve süre 15 güne çıkar.
  $$
  \text{Toplam iş} = 15(n-2)
  $$

- Bu adımda iki ifadeyi eşitliyoruz, çünkü her iki durumda yapılan iş aynıdır.
  $$
  10n = 15(n-2)
  $$
  $$
  10n = 15n - 30
  $$
  $$
  5n = 30
  $$
  $$
  n = 6
  $$

- Bu adımda kısa kontrol yapıyoruz, çünkü sonucun koşulları sağlaması gerekir.
  $6$ işçi 10 günde $60$ işçi-gün yapar; 2 işçi eksilince $4$ işçi kalır ve $60/4=15$ gün sürer.

Bu nedenle doğru seçenek C’dır.

Question 4

$\overline{4a2}$ üç basamaklı sayısı 6 ile tam bölünebilmektedir.

Buna göre $a$ yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?

Accepted Answer

Bir sayının 6 ile bölünebilmesi için **2 ve 3** ile tam bölünebilmesi gerekir.

### 1. Adım: 2 ile bölünebilme

$\overline{4a2}$ sayısının son basamağı 2 olduğundan:

- Zaten **çift** bir sayıdır → 2 ile bölünebilir. ✅

Bu koşul tüm $a$ değerleri için sağlanır.

### 2. Adım: 3 ile bölünebilme

Rakamlar toplamı 3’ün katı olmalıdır.

Rakamlar: 4, a, 2  
Toplam:
$$
4 + a + 2 = a + 6
$$

Bu toplam 3’ün katı olacak:

$$
a + 6 \equiv 0 \pmod{3}
\Rightarrow a \equiv 0 \pmod{3}
$$

Yani $a$, 0–9 arasındaki 3’ün katı olan rakamlardan biri olmalıdır:

$$
a \in \{0, 3, 6, 9\}
$$

Bu değerlerin her biri için sayı 6 ile tam bölünür:

- 402 ÷ 6 = 67 ✓  
- 432 ÷ 6 = 72 ✓  
- 462 ÷ 6 = 77 ✓  
- 492 ÷ 6 = 82 ✓

### 3. Adım: Rakamların toplamı

$$
0 + 3 + 6 + 9 = 18
$$

**Doğru cevap: C) 18**

Question 5

Bir teknoloji şirketinin 2023 yılındaki net karı, 2022 yılına göre %35 artmıştır. 2024 yılında ise 2023 yılına göre %20 azalmıştır. Şirketin 2022 yılındaki net karı 800.000 TL ise, 2024 yılındaki net karının 2022 yılına göre yüzde kaç değiştiğini bulunuz.

Accepted Answer

### Adım 1: 2023 Yılı Net Karını Hesaplayalım

2022 yılı net karı: 800.000 TL  
2023 yılında %35 artış olmuş:

2023 net karı = 800.000 × (1 + 35/100) = 800.000 × 1,35 = 1.080.000 TL

### Adım 2: 2024 Yılı Net Karını Hesaplayalım

2024 yılında 2023'e göre %20 azalış olmuş:

2024 net karı = 1.080.000 × (1 - 20/100) = 1.080.000 × 0,80 = 864.000 TL

### Adım 3: 2024'ün 2022'ye Göre Değişimini Bulalım

2022 yılı: 800.000 TL  
2024 yılı: 864.000 TL

Değişim miktarı = 864.000 - 800.000 = 64.000 TL

Yüzde değişim = (64.000 / 800.000) × 100 = 0,08 × 100 = %8

Sonuç pozitif olduğu için %8 artış vardır.

### Doğrulama

**Seçeneklerin Kontrolü:**
- B: %8 artış → 800.000 × 1,08 = 864.000 TL ✓
- A: %12 azalış → 800.000 × 0,88 = 704.000 TL ✗
- C: %8 azalış → 800.000 × 0,92 = 736.000 TL ✗
- D: %12 artış → 800.000 × 1,12 = 896.000 TL ✗
- E: %15 artış → 800.000 × 1,15 = 920.000 TL ✗

Question 6

Bir babanın yaşı, üçüz çocuklarının yaşları toplamının 2 katıdır. 12 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamına eşit olacaktır.

Buna göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır?

Accepted Answer

### Adım 1: Değişkenleri Tanımlama
Her bir çocuğun yaşı $ x $ olsun. Üçüz oldukları için yaşları toplamı: $ 3x $
Babanın şimdiki yaşı: $ b = 2 \times (3x) = 6x $

### Adım 2: 12 Yıl Sonraki Durumu İfade Etme
12 yıl sonra babanın yaşı: $ b + 12 $
12 yıl sonra çocukların yaşları toplamı: $ 3x + 3 \times 12 = 3x + 36 $

12 yıl sonra babanın yaşı, çocukların yaşları toplamına eşit olacak:
$ b + 12 = 3x + 36 $

### Adım 3: Denklemleri Çözme
$ b = 6x $ olduğunu biliyoruz. İkinci denklemde yerine koyalım:
$ 6x + 12 = 3x + 36 $
$ 6x - 3x = 36 - 12 $
$ 3x = 24 $
$ x = 8 $

### Adım 4: Babanın Yaşını Bulma
$ b = 6x = 6 \times 8 = 48 $

### Adım 5: Sonucu Kontrol Etme
Babanın şimdiki yaşı: 48
Çocukların yaşları toplamı: 3 × 8 = 24
12 yıl sonra: baba 60, çocuklar 24 + 36 = 60. Doğru.

**Sonuç:** Babanın şimdiki yaşı 48'dir.

Question 7

Bir kano, bir nehirde akıntıya karşı saatte 12 km, akıntı yönünde ise saatte 18 km sabit hızla hareket etmektedir. Bu kano, nehir boyunca A noktasından B noktasına gidip hiç durmadan geri dönmüştür.

Kanonun gidiş-dönüş yolculuğu toplam 10 saat sürdüğüne göre, A ve B noktaları arasındaki mesafe kaç km'dir?

Accepted Answer

Bu problemi çözmek için gidiş ve dönüş sürelerini mesafe cinsinden ifade edip toplam süreye eşitlememiz gerekir.

**1. Adım: Süreleri mesafe ($d$) cinsinden tanımlayalım.**
A ve B arasındaki mesafe $d$ km olsun.
* **Gidiş Süresi ($t_g$):** Akıntı yönünde hareket ederken hızı 18 km/sa'dir.
    $$t_g = \frac{d}{18}$$
* **Dönüş Süresi ($t_d$):** Akıntıya karşı hareket ederken hızı 12 km/sa'dir.
    $$t_d = \frac{d}{12}$$

**2. Adım: Toplam süre denklemini kuralım.**
Toplam yolculuk süresi 10 saat olarak verilmiştir:
$$t_g + t_d = 10$$
$$\frac{d}{18} + \frac{d}{12} = 10$$

**3. Adım: Denklemi çözmek için payda eşitleyelim.**
18 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) 36'dır. 18'i 2 ile, 12'yi 3 ile genişletelim:
$$\frac{2d}{36} + \frac{3d}{36} = 10$$
$$\frac{5d}{36} = 10$$

**4. Adım: Mesafeyi ($d$) bulalım.**
$$5d = 360$$
$$d = 72 	ext{ km}$$

**5. Mantık Kontrolü:**
* 72 km yolu 18 km/sa hızla **4 saatte** gider.
* 72 km yolu 12 km/sa hızla **6 saatte** döner.
* Toplam süre: $4 + 6 = 10$ saat. Veriler birbirini tam doğrular.

Bu nedenle doğru seçenek E'dir.

Question 8

$ x $ gerçek sayısı için

$$
\frac{x + 3}{x - 2} - \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{16}{x^2 - 4}
$$

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Accepted Answer

Verilen denklemde paydaların sıfır olmaması için
$$
x \neq 2 \quad \text{ve} \quad x \neq -2
$$
olmalıdır.

Sağ taraftaki payda çarpanlara ayrılır:
$$
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
$$

Sol tarafta kesirler ortak paydada birleştirilir:
$$
\frac{(x + 3)(x + 2) - (x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
$$

Pay kısmı düzenlenir:
$$
(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6
$$
$$
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2
$$

Çıkarma işlemi yapılır:
$$
(x^2 + 5x + 6) - (x^2 - 3x + 2) = 8x + 4
$$

Buna göre denklem:
$$
\frac{8x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{16}{(x - 2)(x + 2)}
$$
şeklini alır.

Paydalar eşit ve sıfırdan farklı olduğundan paylar eşitlenir:
$$
8x + 4 = 16
$$
$$
8x = 12
$$
$$
x = \frac{3}{2}
$$

Bu değer tanım kümesine uygundur.

Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi
$$
\left\{\frac{3}{2}\right\}
$$
olur.

Bu nedenle doğru seçenek B’dir.

Question 9

Gerçel x sayısı için aşağıdaki denklem verilmiştir:

||x - 4| - 2x| = 8

Bu denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Accepted Answer

Verilen denklem:

||x - 4| - 2x| = 8

İki durum incelenir:

### 1. Durum: |x - 4| - 2x = 8

#### a) x ≥ 4
|x - 4| = x - 4  
x - 4 - 2x = 8 → -x - 4 = 8 → x = -12  
Bu çözüm x ≥ 4 aralığını sağlamaz → **Geçersiz**

#### b) x < 4
|x - 4| = -x + 4  
(-x + 4) - 2x = 8 → -3x + 4 = 8 → -3x = 4 → x = -4/3  
Bu değer x < 4 koşulunu sağlar → **Geçerli kök**

---

### 2. Durum: |x - 4| - 2x = -8

#### a) x ≥ 4
|x - 4| = x - 4  
x - 4 - 2x = -8 → -x - 4 = -8 → -x = -4 → x = 4  
x ≥ 4 sağlar → **Geçerli kök**

#### b) x < 4
|x - 4| = -x + 4  
(-x + 4) - 2x = -8 → -3x + 4 = -8 → -3x = -12 → x = 4  
Ancak x < 4 değildir → **Geçersiz**

---

### Geçerli kökler:
x = -4/3  
x = 4

Toplam:  
-4/3 + 4 = (-4 + 12) / 3 = 8/3

**Doğru Cevap: B) 8/3**

Question 10

A grubunda 5, B grubunda 4, C grubunda 3 kişi vardır. Bu kişilerden 4 kişilik bir kurul seçiliyor. Kurulda A grubundan en az bir kişi ve C grubundan en fazla bir kişi bulunma koşulu sağlandığı biliniyor. Bu kurulda A grubundan tam 2 kişi bulunma olasılığı kaçtır?

Accepted Answer

Koşulu sağlayan seçimlerde (A,B,C) dağılımları ve sayıları şöyledir: (1,2,1) için 90; (1,3,0) için 20; (2,1,1) için 120; (2,2,0) için 60; (3,0,1) için 30; (3,1,0) için 40; (4,0,0) için 5. Koşullu örnek uzay toplamı 365'dir. A grubundan tam 2 kişi içeren uygun seçim sayısı 180'tir. Olasılık 180/365=36/73 olur.

DGS sayısal: problemler ve temel matematik çözümlü sorular

Konu özeti

1. Üretim miktarı ve işçi sayısı

Soru

Doğru cevap: E

Detaylı çözüm

Adım 1: Problemin Analizi

Adım 2: Verilen Bilgileri Yazma

Adım 3: Orantı Kurma

Adım 4: Birim Orantıyı Hesaplama

Adım 5: Çalışan Sayısını Bulma

Adım 6: Kontrol

Seçenek analizi

2. İşi erken bitirmek için ek işçi sayısı

Soru

Doğru cevap: C

Detaylı çözüm

Mevcut Durum Analizi

Toplam İş Miktarı

Gerekli İşçi Sayısı

Eklenecek İşçi Sayısı

Doğrulama

Seçenek analizi

3. İşçi sayısı azalınca işin süresi

Soru

Doğru cevap: C

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

4. 6’ya bölünebilmede bilinmeyen rakam

Soru

Doğru cevap: C

Detaylı çözüm

1. Adım: 2 ile bölünebilme

2. Adım: 3 ile bölünebilme

3. Adım: Rakamların toplamı

Seçenek analizi

5. Artış ve azalış yüzdelerini birlikte hesaplama

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

Adım 1: 2023 Yılı Net Karını Hesaplayalım

Adım 2: 2024 Yılı Net Karını Hesaplayalım

Adım 3: 2024'ün 2022'ye Göre Değişimini Bulalım

Doğrulama

Seçenek analizi

6. Baba ve üçüzlerin yaş ilişkisi

Soru

Doğru cevap: A

Detaylı çözüm

Adım 1: Değişkenleri Tanımlama

Adım 2: 12 Yıl Sonraki Durumu İfade Etme

Adım 3: Denklemleri Çözme

Adım 4: Babanın Yaşını Bulma

Adım 5: Sonucu Kontrol Etme

Seçenek analizi

7. Akıntıda gidiş-dönüş mesafesi

Soru

Doğru cevap: E

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

8. Paydalı denklemde tanım kümesi

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

9. İç içe mutlak değer denklemi

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

1. Durum: |x - 4| - 2x = 8

a) x ≥ 4

b) x < 4

2. Durum: |x - 4| - 2x = -8

a) x ≥ 4

b) x < 4

Geçerli kökler:

Seçenek analizi

10. Koşullu kurul seçiminde olasılık

Soru

Doğru cevap: A