ALES temel matematik, denklem ve mutlak değer: çözümlü sorular

Q: ALES'te mutlak değer sorusu nasıl çözülür?

Önce mutlak değerin içini sıfır yapan değerleri bul, sayı doğrusunu bu noktalardan aralıklara böl ve her aralıkta işareti belirle. İki mutlak değerin toplamı sıfırsa her ikisi de ayrı ayrı sıfırdır.

Q: Devirli ondalık sayı kesre nasıl çevrilir?

Devreden kısım dahil tüm basamaklardan devretmeyen kısım çıkarılır; payda devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0'dan oluşur. Çözümde adım adım gösterilir.

Q: Bir denklemin çözüm kümesi ne zaman boş olur?

Bilinmeyenin katsayısı sıfıra, sabit terim sıfırdan farklı bir sayıya eşitlenirse (0 = sabit) denklemin çözümü yoktur. Soru bu koşulu sağlayan parametre değerini sorar.

Q: Bu sorular gerçek ALES soruları mı?

Hayır. ÖSYM tarzında, Akkademi tarafından hazırlanmış özgün sorulardır; resmî çıkmış sorular ÖSYM'nin yayımladığı kitapçıklardadır. Soruların nasıl hazırlandığını Sorularımız nasıl hazırlanıyor? sayfasında anlattık.

Question 1

$a$ ve $b$ birer tam sayı olmak üzere,
$$
|2a - 6| + |b + 4| = 0
$$
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $a - b$ işleminin sonucu kaçtır?

Accepted Answer

Bu adımda mutlak değerle ilgili temel bir özelliği kullanmamız gerekir; çünkü verilen eşitlik bu özelliğe dayanmaktadır.

### Adım 1: Mutlak Değerin Sıfır Olma Koşulu
Bir mutlak değerli ifadenin sonucu **negatif olamaz**.  
İki mutlak değerli ifadenin toplamı 0 ise, **her birinin ayrı ayrı 0 olması zorunludur**; çünkü pozitif bir değerin sıfırı dengelemesi mümkün değildir.

Bu nedenle:
$$
|2a - 6| = 0 \quad \text{ve} \quad |b + 4| = 0
$$

### Adım 2: Her Bir Mutlak Değerli Denklemi Çözme
- $ |2a - 6| = 0 \Rightarrow 2a - 6 = 0 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3 $
- $ |b + 4| = 0 \Rightarrow b + 4 = 0 \Rightarrow b = -4 $

### Adım 3: İstenen İşlemi Hesaplama
$$
a - b = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7
$$

### Sonuç
Koşulları sağlayan değerler için $a - b = 7$ bulunur.

Bu nedenle doğru seçenek **E**’dir.

Question 2

Sayı doğrusu üzerinde A noktası $-3$, B noktası ise $7$ sayısını göstermektedir.

B noktasının **5 birim solunda** bulunan C noktasına göre, **A noktasının uzaklığı** kaç birimdir?

Accepted Answer

Bu adımda sayı doğrusu üzerinde konumları doğru belirlemek gerekir; çünkü uzaklık kavramı doğrudan bu konumlara bağlıdır.

### Adım 1: C Noktasının Konumunu Belirleme
B noktası $7$ değerindedir.  
“5 birim solunda” ifadesi, sayı doğrusu üzerinde 5 birim **çıkarma** anlamına gelir:
$$
C = 7 - 5 = 2
$$

### Adım 2: A Noktasının Konumu
A noktası soruda verildiği gibi:
$$
A = -3
$$

### Adım 3: İki Nokta Arasındaki Uzaklığı Hesaplama
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, bu sayıların farkının **mutlak değeri** alınarak bulunur; çünkü uzaklık yönlü değil, büyüklük belirten bir kavramdır.

$$
|A - C| = |(-3) - 2| = |-5| = 5
$$

### Sonuç
A noktasının, C noktasına olan uzaklığı **5 birim**dir.

Bu nedenle doğru seçenek **E**’dir.

Question 3

Bir okulda verilen Matematik, Fizik ve Kimya derslerinin süreleri sırasıyla **40**, **48** ve **60** dakikadır.  
Okul yönetimi, bütün derslerin sürelerini **eşit uzunlukta ve tam parçalara** bölmek istemektedir.

Buna göre, her bir ders parçasının süresi en fazla kaç dakika olabilir?

Accepted Answer

Bir ders saatinin eşit bölümlere ayrılabilmesi için bölüm uzunluğunun, verilen üç sürenin **ortak böleni** olması gerekir. En fazla olacak süre → **en büyük ortak bölen (OBEB)**’dir.

Asal çarpanlar:

- 40 = $2^3 \cdot 5$  
- 48 = $2^4 \cdot 3$  
- 60 = $2^2 \cdot 3 \cdot 5$

OBEB hesaplanır:

- 2'nin en küçük kuvveti → $2^2 = 4$  
- 3 → hiçbirinde ortak değil → alınmaz  
- 5 → yalnızca 40 ve 60'ta var, ama 48'de olmadığı için alınmaz

$$
\text{OBEB}(40,48,60)=4
$$

Bu durumda dersler en fazla 4 dakikalık parçalara ayrılabilir.

### Sonuç: C) 4

Question 4

$a = 0,\overline{36}$ ve $b = 0,4\overline{8}$ olmak üzere,

$$
\frac{3a + 2b}{5}
$$

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Accepted Answer

### Adım 1: Devirli Ondalıkları Kesre Çevirme

$$
a = 0,\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}
$$

$$
b = 0,4\overline{8} = 0,4888\ldots = \frac{22}{45}
$$

---

### Adım 2: 3a ve 2b’yi Hesaplama

$$
3a = 3 \cdot \frac{4}{11} = \frac{12}{11}
$$

$$
2b = 2 \cdot \frac{22}{45} = \frac{44}{45}
$$

---

### Adım 3: Toplama İşlemi

$$
\frac{12}{11} + \frac{44}{45}
$$

$$
= \frac{540}{495} + \frac{484}{495} = \frac{1024}{495}
$$

---

### Adım 4: 5’e Bölme

$$
\frac{1024}{495} \div 5 = \frac{1024}{2475}
$$

---

### Adım 5: Sonucun Kontrolü

- Devirli ondalıklar doğru çevrilmiştir  
- İşlem sırası doğru uygulanmıştır  
- Yalnızca **D seçeneği** bu sonucu vermektedir

---

**Sonuç:**  
$$
\boxed{\frac{1024}{2475}}
$$
olduğundan doğru cevap **D** seçeneğidir.

Question 5

(2a − 5)x + 3a + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesinin boş küme olması için a’nın alabileceği değer aşağıdakilerden hangisidir?

Accepted Answer

Birinci dereceden bir denklem genel olarak ax + b = 0 biçimindedir.

Bu tür denklemlerde:
- a ≠ 0 ise denklemin tek bir çözümü vardır.
- a = 0 ve b = 0 ise çözüm kümesi tüm reel sayılardır.
- a = 0 ve b ≠ 0 ise denklem çelişkili olur ve çözüm kümesi boş kümedir.

Verilen denklem:
(2a − 5)x + 3a + 7 = 0

Çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için, x’in katsayısı sıfır olmalı ve sabit terim sıfırdan farklı olmalıdır.

Bu nedenle önce x’in katsayısı sıfıra eşitlenir:
2a − 5 = 0  
2a = 5  
a = 5/2

Şimdi sabit terim kontrol edilir:
3a + 7 = 3·(5/2) + 7  
3a + 7 = 15/2 + 14/2  
3a + 7 = 29/2

29/2 sıfırdan farklı olduğu için koşul sağlanır.

Bu durumda denklem,
0·x + 29/2 = 0
şeklini alır. Bu bir çelişkidir ve denklemin çözümü yoktur.

Bu nedenle çözüm kümesi boş küme olur ve doğru seçenek B’dir.

Question 6

a ve b gerçel sayıları aşağıdaki mutlak değer denklemlerini sağlamaktadır:

$$
|2a - b| = 8
$$
$$
|a + 3b| = 6
$$

Buna göre, a'nın alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır?

Accepted Answer

Verilen mutlak değer denklemleri dört farklı işaret kombinasyonu üretir.

---

### **1. Kombinasyon**
$$
2a - b = 8,\quad a + 3b = 6
$$

b = 2a – 8  
Yerine koyarsak:  
$$
a + 3(2a - 8) = 6 \Rightarrow 7a = 30 \Rightarrow a = \frac{30}{7}
$$

---

### **2. Kombinasyon**
$$
2a - b = 8,\quad a + 3b = -6
$$

b = 2a – 8  
$$
a + 3(2a - 8) = -6 \Rightarrow 7a = 18 \Rightarrow a = \frac{18}{7}
$$

---

### **3. Kombinasyon**
$$
2a - b = -8,\quad a + 3b = 6
$$

b = 2a + 8  
$$
a + 3(2a + 8) = 6 \Rightarrow 7a = -18 \Rightarrow a = -\frac{18}{7}
$$

---

### **4. Kombinasyon**
$$
2a - b = -8,\quad a + 3b = -6
$$

b = 2a + 8  
$$
a + 3(2a + 8) = -6 \Rightarrow 7a = -30 \Rightarrow a = -\frac{30}{7}
$$

---

### **Tüm a değerlerinin toplamı:**

$$
\frac{30}{7} + \frac{18}{7} - \frac{18}{7} - \frac{30}{7} = 0
$$

---

**Sonuç:**  
$$
\boxed{0}
$$

**Doğru Cevap: B) 0**

ALES temel matematik, denklem ve mutlak değer: çözümlü sorular

Konu özeti

1. İki mutlak değerin toplamından bilinmeyenleri bulma

Soru

Doğru cevap: E

Detaylı çözüm

Adım 1: Mutlak Değerin Sıfır Olma Koşulu

Adım 2: Her Bir Mutlak Değerli Denklemi Çözme

Adım 3: İstenen İşlemi Hesaplama

Sonuç

Seçenek analizi

2. Sayı doğrusunda konum ve uzaklık

Soru

Doğru cevap: E

Detaylı çözüm

Adım 1: C Noktasının Konumunu Belirleme

Adım 2: A Noktasının Konumu

Adım 3: İki Nokta Arasındaki Uzaklığı Hesaplama

Sonuç

Seçenek analizi

3. Süreleri eşit parçalara ayırma

Soru

Doğru cevap: C

Detaylı çözüm

Sonuç: C) 4

Seçenek analizi

4. Devirli ondalıkları kesre çevirme

Soru

Doğru cevap: D

Detaylı çözüm

Adım 1: Devirli Ondalıkları Kesre Çevirme

Adım 2: 3a ve 2b’yi Hesaplama

Adım 3: Toplama İşlemi

Adım 4: 5’e Bölme

Adım 5: Sonucun Kontrolü

Seçenek analizi

5. Bir denklemin çözüm kümesinin boş olması

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

Seçenek analizi

6. Mutlak değerli sistemde olası değerler

Soru

Doğru cevap: B

Detaylı çözüm

1. Kombinasyon

2. Kombinasyon

3. Kombinasyon

4. Kombinasyon

Tüm a değerlerinin toplamı:

Seçenek analizi

Sık sorulan sorular